Cantle · коли ходів немає
Коли дошка застрягла
Ви поставили все очевидне. Жоден хід більше не напрошується, і здається, що далі лишається тільки вгадувати. Це не так. Ось три прийоми на справжніх складних дошках — від найпростішого до найзагальнішого.
Що таке глухий кут
У кожної клітинки ще є вибір
Кожній порожній клітинці лишилось щонайменше два кольори, і жодній — лише один. Про цей момент варто знати дві речі, і обидві неочевидні.
У 45% випадків глухий кут настає ще до першого ходу. Дошка стоїть із самого початку, і це не ваша помилка.
Порожні клітинки завжди утворюють одну суцільну групу. Окремо розкиданих не буває, тож шукати треба в одному місці, а не по всій дошці.
Усі три дошки нижче — справжні складні: вісімнадцять вузлів, близько сорока ліній і тринадцять клітинок, які треба заповнити.
Прийом перший · найпростіший
Трикутник
Якщо двом з’єднаним клітинкам лишилась та сама пара кольорів, жодна клітинка, з’єднана з обома, не може взяти жодного з цих двох кольорів.
Бо ці два кольори в будь-якому разі дістануться парі — по одному кожній клітинці. Спільному сусідові не лишиться жодного з них.
Як знайти
- Знайдіть дві порожні клітинки, з’єднані лінією.
- Перевірте, чи в обох лишилась та сама пара кольорів. Щоб це побачити, гляньте на їхніх розфарбованих сусідів: які два з чотирьох кольорів ще вільні.
- Знайдіть клітинку, з’єднану з обома.
Чому це правда
Ці дві клітинки з’єднані, тож не можуть бути одного кольору. А кольорів на двох у них рівно два. Отже, одна візьме перший, друга — другий; котра який — невідомо, але обидва кольори буде зайнято. Спільному сусідові їх уже не взяти.
Що це дає
Спільний сусід втрачає одразу два кольори. Якщо йому лишалось три, його колір уже відомий, і ставити його можна не думаючи.
Клітинка 0 мала три кольори: ●, ■, ◆. Два з них заздалегідь забрала пара, яку ще навіть не розфарбовано, — і лишився один.
А далі не треба нічого. Щойно 0 стала ◆, решту дошки розв’язало перше правило: визначились усі дванадцять клітинок, що лишались. Одна знайдена пара — і головоломку розв’язано.
90% складних дошок — разом із першим правилом
Прийом другий · ширший
Свідок
Трикутник працює, лише коли пара однакова. Часто вона майже однакова: дві з’єднані клітинки вибирають із тих самих трьох кольорів. Саме по собі це нічого не дає. Але якщо поруч є свідок, цього вже досить.
Якщо клітинці, з’єднаній з обома, лишилось лише два кольори з тієї ж трійки, то одна з пари обов’язково матиме третій — той, якого у свідка немає.
Як знайти
- Знайдіть клітинку, у якої лишилось рівно два кольори. Це свідок. На дошці нижче це 10, у нього ■ і ◆.
- Серед його сусідів знайдіть дві клітинки, з’єднані між собою: тут це 4 і 14.
- Перевірте, що обом разом доступні лише три кольори. Тут у кожної ●■◆ — рівно три, і два з них ті самі, що у свідка.
Чому це правда
- Чи можуть обидві клітинки пари взяти саме кольори свідка, тобто ■ і ◆?
- Ні. Вони з’єднані, тож узяли б по одному — і разом забрали б у свідка обидва кольори. Свідкові не лишилося б жодного, а на правильній дошці так не буває.
- Отже, хоча б одна з двох матиме колір, якого у свідка немає.
- А поза ■ і ◆ їм доступний лише ●. Отже, одна з них буде саме ●.
Що це дає
Ви не знаєте, котра з двох, — і знати не треба. Досить того, що ● точно дістанеться одній із них: жодна інша клітинка, з’єднана з обома, цього кольору взяти вже не може. Один колір викреслено.
Чому втрачає саме 8, а не свідок 10
Тут найлегше заплутатися: у міркуванні три різні ролі, і всі три — звичайні клітинки на дошці.
| Роль | Хто | Що з нею стається |
|---|---|---|
| Пара | 4 і 14 | Одна з них — ●. Котра саме — невідомо, і це нічому не заважає. |
| Свідок | 10 | Нічого не втрачає. Він лише дає змогу зробити висновок. |
| Ціль | 8 | Втрачає ● — і лишається з одним кольором. |
Відповідь проста: подивіться, у кого ● взагалі є.
У свідка 10 лишились ■ і ◆. ● там немає взагалі — забирати нічого.
У цілі 8 лишились ● і ■. ● там є — отже, саме вона його й втрачає. А оскільки кольорів у неї було рівно два, лишається один: 8 = ■.
А як далі
Більше нічого робити не треба. Щойно 8 стала ■, решту дошки розв’язало перше правило: визначились усі дванадцять клітинок, що лишались.
«А можна поставити ● на 14?»
Тут це питання напрошується саме собою — і відповідь пояснює, чому правило влаштоване саме так.
Правило каже: одна з пари є ●. Котра саме — навмисно не каже. Тож у цю мить поставити ● на 14 здається таким самим правильним ходом, як на 4, — і жодне з трьох правил цього не забороняє.
На цій дошці 14 насправді не може бути синьою — це підтверджує повний перебір. Але важливо інше: простим правилом цього не видно. Якщо все ж поставити 14 = ●, правило «лишився один» не знайде жодної суперечності. Вона є, але надто глибоко, щоб побачити її одразу.
Тому правильний хід — узагалі не вибирати.
Зробіть хід, який правило гарантує: 8 = ■. Одразу після нього перше правило за один прохід розфарбовує всю дошку — зокрема 4 = ● і 14 = ◆.
Ви не вгадуєте, котра з пари синя. Ви робите один точний хід — і за мить дошка показує це сама.
95% складних дошок — разом із попередніми прийомами
Загальне правило · з нього випливають обидва
Двоколірна клітинка
Якщо клітинці лишилось рівно два кольори, жодні два її сусіди не можуть забрати обидва.
Інакше їй самій не лишилося б жодного кольору — а на правильній дошці так не буває.
Саме це правило стоїть за обома прийомами вище. Трикутник — окремий випадок, коли дві з’єднані клітинки самі двоколірні й мають однакову пару. Свідок — випадок, коли двоколірний спільний сусід. Ви весь час користувалися цим правилом, просто у двох готових формах.
Відмінність одна, і саме вона робить правило незвичним: воно викреслює не колір, а поєднання. Ви дізнаєтесь не те, якого кольору клітинка, а якими дві клітинки не можуть бути одночасно. Спершу здається, що це слабше, — тому правило й не помічають. Насправді воно сильніше, бо заборони можна поєднувати між собою, а окремі кольори — ні.
Крок 1 · що знайти
Клітинку, у якої лишилось рівно два кольори. Назвемо їх X і Y. Потім — будь-яких двох її сусідів, A і B. Чи з’єднані вони між собою — неважливо; головне, що обидва з’єднані з цією клітинкою.
Крок 2 · що записати
Не колір, а одну фразу: «A і B не можуть забрати X і Y між собою».
Відпадають два варіанти: A=X разом із B=Y, і A=Y разом із B=X. Кожен із цих кольорів окремо досі можливий — неможливе саме поєднання. Це й збиває з пантелику: ви щось записали, а на дошці нічого не змінилось.
Крок 3 · як зробити з цього хід
- Візьміть один із кольорів клітинки A — скажімо, C. Питання завжди те саме: чи може A бути C?
- Якщо може, то чим тоді буде B? Переберіть кольори B. Відпадає C (якщо A і B з’єднані) і ті кольори, які заборонені в парі з C.
- Якщо для B не лишилось жодного кольору — значить, A не може бути C. Викресліть.
Що це дає
Клітинка, до якої не дотягувався жоден із прийомів, втрачає один колір. Зазвичай цього досить, щоб знову запрацювало перше правило, — і далі дошка розв’язується сама.
Коли не допомагають ні трикутник, ні свідок
Приблизно одна складна дошка з двадцяти рано чи пізно заводить туди, де жоден прийом не дає ходу. Ось такий глухий кут — теж на справжній складній дошці. На ній немає жодної пари з однаковими двома кольорами й жодного свідка. Двоколірних клітинок аж дев’ять, але окремо жодна з них нічого не дає.
Питання: чи може 16 бути ●? У неї лишались ▲●■.
Візьмемо її сусідку 7, у якої лишились ■ і ◆. Якщо 16 справді ●, то 7 може бути або ■, або ◆. Обидва варіанти заборонено — але різними клітинками:
16 = ● і 7 = ■ забороняє клітинка 5: у неї рівно ● і ■, а обидві ці клітинки — її сусіди.
16 = ● і 7 = ◆ забороняє клітинка 1: у неї рівно ● і ◆, і вона теж з’єднана з обома.
Партнера не лишилось жодного — отже 16 не ●. Два варіанти заборонили дві різні двоколірні клітинки, кожна свій. Жоден окремий прийом цього не дав би — тому тут не допомагає ні трикутник, ні свідок.
І що це дало? Поки нічого — і так має бути
Чесна відповідь на головне питання: клітинка 16 мала ▲●■, а тепер має ▲■. Жодного кольору не поставлено. Дошка виглядає так само, і решта дванадцяти клітинок досі невизначені.
У цьому й головна різниця між загальним правилом і двома прийомами: трикутник і свідок дають хід, а загальне правило лише звужує вибір. Воно майже ніколи не ставить колір одразу. Ви викреслюєте один колір, потім ще один, і десь на цьому шляху якійсь клітинці лишається один колір. Аж тоді знову вмикається перше правило.
Результат з’являється не після кожного кроку, а весь одразу, наприкінці. До того здається, що ви тупцюєте на місці. Насправді ви звужуєте вибір — і саме тому це правило так важко полюбити.
І чесно про складність
Щоб розв’язати таку дошку самими заборонами, треба тримати в голові значно більше, ніж зручно людині. Це вже не осяяння, а бухгалтерія.
Тому трикутник і свідок такі цінні. Вони розв’язують дев’ятнадцять дошок із двадцяти, і ними зручно користуватися в грі. Загальне правило варто знати не для щоденної гри, а щоб розуміти, чому працюють ті два, — і щоб на двадцятій дошці знати: вихід є, навіть коли його не видно.
100% дошок на всіх п’яти рівнях гри
Порядок дій
Що робити, крок за кроком
- Ставте все очевидне, поки є такі ходи: якщо в сусідів три різні кольори, лишається четвертий.
- Застрягли? Пошукайте трикутник: дві з’єднані клітинки з однаковою парою кольорів. Це найпростіший прийом, і на дев’яти дошках із десяти його досить.
- Немає? Пошукайте свідка: дві з’єднані клітинки з тими самими трьома кольорами і спільного сусіда, якому лишились два з цієї трійки.
- І цього немає? Тоді загальне правило. Перегляньте клітинки, яким лишилось рівно два кольори: жодні два сусіди такої клітинки не можуть забрати обидва. Викресліть колір, для якого в сусіда не лишилось жодного допустимого варіанта.
- Поверніться до кроку 1. Одне викреслення майже завжди запускає ланцюжок ходів аж до кінця.
Чесно про обмеження
Чого ці прийоми не обіцяють
Помилитися вони не можуть
Це випливає з самого міркування, а не з підрахунку: якщо двоє сусідів забрали обидва кольори двоколірної клітинки, їй не лишається жодного. На правильній дошці такого не буває — тож заборона завжди справедлива.
А от те, що їх завжди досить, — результат перевірки, а не теорема
Цих правил вистачило на 50 000 дошок гри, 1000 випадкових планарних графів і 2840 довільних — жодного збою. Але це перевірка, а не доведення: щоб стверджувати «завжди», потрібна математика, а не статистика.
На неоднозначній дошці вони зупиняються, а не вигадують
450 дошок навмисно зробили з кількома правильними розв’язками. Метод жодного разу не викреслив колір, який є хоча б в одному з них, і жодного разу не оголосив якийсь один розв’язок єдиним правильним. Він просто зупиняється — і це чесніше, ніж угадувати.
Усі три дошки на цій сторінці створив генератор самої гри, і кожен висновок звірено з її збереженим розв’язком. Числа: 50 000 дошок гри на п’яти рівнях · 1000 випадкових планарних графів до 50 вузлів · 2840 довільних графів · 450 навмисне неоднозначних дошок · дві незалежні реалізації · нуль неправильних викреслень скрізь.
Назад до порад